Messwertanalyse mit Mathematica
(indirekter Halbleiter)

Computeralgebraprogramme gehören heute zum selbstverständlichen Werkzeug des Physikers. Sie sind  für die Lösung anspruchsvoller numerischer und analytischer Aufgabenstellungen hervorragend geeignet, und können  auch bei  Messwertanalysen vorteilhaft eingesetzt werden. Im Folgenden wird beispielhaft die Lösung von Fragestellungen mit Mathematica behandelt, die im Versuch Festkörperoptik - Bandparameter und optische Konstanten zu lösen sind.

1. Voreinstellungen
Zunächst müssen Programmpakete geladen werden, die für die weitere Datenverarbeitung  benötigt werden. Dies geschieht mit der Anweisung << gefolgt von dem entsprechenden Programmpaket. Um den Graphiken ein einheitliches Aussehen zu geben, werden mit der Anweisung SetOptions[...] Voreinstellungen für die Plotfunktionen MultipleListPlot, Plot, LogPlot und LogLogPlot getroffen. Bei Ausführung der jeweiligen Plotfunktion wird immer ein Rahmen und ein Gitter gezeichnet, mehrere Figuren in einem Plot werden farblich unterschieden. Weitere Einstellmöglichkeiten können über die Anweisung Options[...] abgefragt werden.

\(\(\(Clear["Global`*"]\)\(
\)\(
\)
    \) (*Laden\ der\ Programmpakete*) \)
<< Statistics`DataSmoothing`
<< NumericalMath`NLimit`
<< Graphics`
<< Graphics`Legend`
<< 
      Graphics`MultipleListPlot`



     (*Voreinstellungen für Plotanweisungen*) 
SetOptions[MultipleListPlot, PlotJoined -> True, 
        Frame -> True, GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, ErrorBarFunction -> None, 
        SymbolShape -> None];

    
SetOptions[Plot, Frame -> True, GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic];

    
SetOptions[LogPlot, Frame -> True, 
        GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic];

    
SetOptions[LogLogPlot, Frame -> True, 
        GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic];

2. Das Einlesen und die Darstellung von Daten
Die zu verarbeitenden Daten sollten als Datenpunkttabellen gespeichert sein. Wie die Datenpunkttabellen zu erzeugen sind, ist der Bedienungsanleitung für das Fourier-Spektrometer zu entnehmen. Durch SetDirectory["..."] wird der Ort festgelegt, an dem die Daten gespeichert wurden. Es ist nur der Pfad anzugeben, z.B. C:\Dokumente und Einstellungen\........... Der aktuelle Pfad kann mit Directory[] überprüft werden. Durch die Anweisung Import[...] werden die Daten als Liste eingelesen und unter dem vorausgehenden Namen gepeichert. Die Listen können dann mit den entsprechenden Graphikanweisungen dargestellt werden. Im folgenden Beispiel werden Transmissions- und Reflexionspektren eingelesen und dargestellt. Alle Energien werden in der spektroskopischen Notation in Abhängigkeit von der Wellenzahl ν angegeben.

\(\(\( (*Überprüfung\ der\ Pfadeinstellung*) \)\(
\)\(\(Directory[];\)

 (*Falls\ erforderlich, \ 
      Eingabe\ eines\ neuen\ Pfades*) 

    \(SetDirectory["C:\Dokumente und Einstellungen\Edwin Batke\Desktop\Extrahierte Dateien\Final measurements"];\)

 (*Einlesen\ der\ \(Datenfiles : 
Die\ Daten\ werden\ in\ Listen\ mit\ den\ Namen\ transexp2\ und\ transexp1\ \(\(eingelesen\)\(.\)\)\)\ *) 


    \(transexp2 = 
        Import["T-Si-530-TQ-8cm-1.DPT", "Table"];\)

    \(transexp1 = 
        Import["T-Si-530-GK-8cm-1.DPT", "Table"];\)

 (*Darstellung\ der\ Daten\ und\ Beschriftung\ der\ Figur*) 

    MultipleListPlot[{transexp1}, PlotRange -> {{350, 7000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]


    MultipleListPlot[{transexp2}, 
      PlotRange -> {{2000, 12000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]

 (*Man\ verfahre\ in\ gleicher\ Weise\ für\ die\ Messung\ in\ Reflexion\ wie\ in\ Transmission*) 


     (*Einlesen\ der\ Daten\ und\ graphische\ Darstellung*) \(reflexp2 = 
        Import["R-Si-530-TQ-8cm-1.DPT", "Table"];\)

    \(reflexp1 = 
        Import["R-Si-530-GK-8cm-1.DPT", "Table"];\)



    MultipleListPlot[{reflexp1}, PlotRange -> {{350, 7000}, {0.0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]


    MultipleListPlot[{reflexp2}, 
      PlotRange -> {{2000, 12000}, {0.0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]


    \)\)\)

3. Das Zusammenfügen von Spektren
Der Strahlteiler und die Quelle bestimmen wesentlich den nutzbaren Messbereich eines Fourierspektrometers. Um in einem weiten Frequenzbereich ein gutes Signal-Rausch-Verhältnis zu erhalten, müssen Strahlteiler und Quelle u.U. gewechselt werden. Einzelspektren, die bei verschiedenen Strahlteiler-Quelle-Kombinationen gemessen wurden, können dann zu einem Gesamtspektrum zusammengefügt werden. Das Zusammenfügen erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst werden aus den experimentellen Listen durch Interpolation Funktionen generiert, die dann genutzt werden, um eine Tabelle zu erzeugen. Der Übergang zwischen den Einzelspektren  wird u.U. nicht perfekt sein, es ist deshalb erforderlich, einen multiplikativen Faktor einzufügen, der beide Spektren im Übergangsbereich zur Deckung bringt. Da in der Kombination aus Wolfram-Lampe und Quarz-Strahlteiler Nichtlinearitäten des Detektors eine größere Rolle spielen als in der Kombination Globar-KBr, sollte die Messung in der Kombination Globar-KBr als Referenz dienen. Schließlich sollte noch überprüft werden, ob die Summe aus Reflexion und Transmission im gesamten Wellenzahlbereich kleiner gleich 1 ist. Wird der Wert 1 überschritten, ist von einem Messfehler auszugehen.

\(\(\( (*Aus\ den\ experimentellen\ Daten\ werden\ Interpolationsfunktionen\ erzeugt*) \)\(
\)\(\(transint1 = 
        Interpolation[transexp1, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(transint2 = 
        Interpolation[transexp2, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)

 (*Spektren\ sollen\ bei\ 4100\ cm - 1\ zusammengefügt\ werden\ *) 

    \(übergang = 
        4100;\)

 (*Eingane\ eines\ multiplikativen\ Faktors\ für\ den\ höheren\ Wellenzahlbereich*) 

    \(tfaktor = 
        1.0645;\)

 (*Erzeugung\ einer\ Tabelle\ aus\ den\ Interpolationsfunktionen, \ 
      wobei\ der\ Frequenzbereich\  > \ 
        4100\ cm - 
          1\ mit\ dem\ Faktor\ tfaktor\ multipliziert\ wird*) 

    \(trans = 
        Table[{ν, 
            If[ν ≤ übergang, transint1[ν], 
              tfaktor*transint2[ν]]}, {ν, 350, 12000, 
            0.3}];\)

 (*Darstellung\ der\ zusammengefügten\ Spektren*) 

    MultipleListPlot[{trans}, PlotRange -> {{350, 12000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]

 (*Wiedergabe\ des\ Übergangbereichs\ im\ Wellenzahlbereich\ von\ 4095\ und\ 4105\ cm - 
        1\ zur\ Überprüfung\ des\ multiplikativen\ Faktors\ tfactor*) 

    MultipleListPlot[{trans}, 
      PlotRange -> {{übergang - 5, übergang + 
              5}, {0.5, 0.55}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]

 (*Man\ verfahre\ für\ Refexionsspektren\ analog\ wie\ für\ die\ Transmissionspektren*) 


     (*Aus\ den\ experimentellen\ Daten\ werden\ Interpolationsfunktionen\ erzeugt*) \(reflint1 = 
        Interpolation[reflexp1, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflint2 = 
        Interpolation[reflexp2, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)

 (*\ 
      Eingabe\ des\ multiplikativen\ Faktors\ für\ den\ höheren\ Wellenzahlbereich*) 

    \(rfaktor = 1.0515;\)


     (*Erzeugung\ einer\ Tabelle\ aus\ den\ Interpolationsfunktionen, \ 
      wobei\ der\ Frequenzbereich\  > \ 
        4100\ cm - 
          1\ mit\ dem\ Faktor\ rfaktor\ multipliziert\ wird*) \(refl = 
        Table[{ν, 
            If[ν ≤ übergang, reflint1[ν], 
              rfaktor*reflint2[ν]]}, {ν, 350, 12000, 
            0.3}];\)


     (*Darstellung\ der\ zusammengefügten\ Spektren*) 
      MultipleListPlot[{refl}, PlotRange -> {{350, 12000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]


 (*Wiedergabe\ des\ Übergangbereichs\ im\ Wellenzahlbereich\ von\ 4095\ und\ 4105\ cm - 
        1\ zur\ Überprüfung\ der\ Größe\ des\ multiplikativen\ Faktors\ rfactor*) 

    MultipleListPlot[{refl}, 
      PlotRange -> {{übergang - 5, übergang + 
              5}, {0.45, 0.5}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]

 (*Überprüfe\ ob\ die\ Summe\ aus\ Transmision\ und\ Reflexion\  ≤ \ 
        1\ ist; 
Aus\ den\ Tabellen\ für\ die\ Transmission\ und\ Reflexion\ werde\ Interpolationsfunktionen\ gebildet, \ 
      deren\ Summe\ dann\ mit\ der\ Plot - 
        Anweisung\ dargestellt\ \(\(wird\)\(.\)\)*) 

    \(transint = 
        Interpolation[trans, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflint = 
        Interpolation[refl, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)


    Plot[{transint[ν] + reflint[ν]}, {ν, 350, 12000}, 
      PlotRange -> {0. , 1.1}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion+Transmission"}, 
      PlotLabel -> "Si, 530 µm"]

    \)\)\)

4. Das Glätten von Spektren
Wenn das Signal-Rausch-Verhältnis nicht optimal ist, kann es sinnvoll sein, die Spektren zu glätten. Mit dieser Option sollte man aber vorsichtig umgehen, um feine spektrale Strukturen nicht zu verwischen. Als Beispiel wird das Glätten der Reflexionsspektren demonstriert, wobei  die Anweisung ExponentialSmoothing[..., x] eingesetzt wird. Der Smoothing-Parameter x wird dabei in einem weiten Bereich variiert. Um die Spektren besser miteinander vergleichen zu können, werden die geglätteten Spektren um einen konstanten Faktor (0.05 bzw. 0.1) zueinander verschoben.

\(\(\( (*Brechnung\ geglätteter\ Spektren\ für\ drei\ unterschiedliche\ Glättungsparameter\ mit\ graphischer\ Darstellung*) \)\(\(reflsmooth1 = 
        Interpolation[ExponentialSmoothing[refl, 0.1], 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflsmooth2 = 
        Interpolation[ExponentialSmoothing[refl, 0.01], 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflsmooth3 = 
        Interpolation[ExponentialSmoothing[refl, 0.001], 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)


    Plot[{reflsmooth1[ν], reflsmooth2[ν] + 0.05, 
        reflsmooth3[ν] + 0.1}, {ν, 350, 12000}, 
      PlotRange -> {0.3, 0.6}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, 
      PlotLegend -> {"R, x = 0.1", "R+0.05, x = 0.01", "R+0.1, x = 0.001"}, LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, LegendLabel -> "Si,
 530 µm"]\)\)\)

5. Ermittlung der optischen Konstanten aus Reflexion und Transmission
Sind die Transmission transexp und die Reflexion reflexp einer planparallelen Probe in einem weiten Wellenzahlbereich bekannt, kann durch einen Vergleich mit einem theoretischen Modell, das die Transmission transth(n, κ) und Reflexion reflth(n, κ) in Abhängigkeit von der Brechzahl n und dem Extinktionskoeffizienten κ angibt, die Wellenzahlabhängigkeit beider Größen bestimmt werden. Prinzipiell muss eine Nullstellensuche durchgeführt werden, wobei n und κ so zu bestimmen sind, dass die Gleichungen transexp-transth(n, κ) = 0 und reflexp-reflth(n, κ) = 0 simultan erfüllt sind. Im folgenden Beispiel wird bei der Nullstellensuche nicht auf die  experimentellen Spektren reflexp und transexp, sondern auf die aus ihnen gewonnen Interpolationsfunktionen reflint und transint zurückgegriffen. Beim theoretischen Modell gehen wir vom allgemeineren Fall einer planparallelen Schicht mit unterschiedlichen Reflexionseigenschaften für die vordere (1) und rückseitige (2) Grenzfläche aus. Phasenbeziehungen der vielfach in der Schicht reflektierten Wellen werden nicht berücksichtigt, d.h. es werden nur die Intensitäten der einzelnen Wellen berücksichtigt.

\(\(\( (*Eingabe\ der\ Parameter*) \)\(
\)\(Print["Schichtdicke in cm"]

    d = 530*10^\(-4\)

    Print["Abweichung der Reflexion für vordere und hintere Grenzfläche vom idealen Verhalten"]

    Δrg1 = 0.0

    Δrg2 = 
      0.0


 (*Reflexion\ einer\ idealen\ Grenzfläche\ in\ Abhängigkeit\ von\ n\ und\ κ*) 

    \(rg = \(\((n - 1)\)^2 + κ^2\)\/\(\((n + 1)\)^2 + κ^2\);\)

 (*Absorptionskoeffizient*) 

    \(β = 
        4*π*Abs[κ]*ν;\)

 (*Theoretische\ Ausdrücke\ für\ Transmission\ und\ Reflexion; \ 
      Annahme : \ 
        unterschiedliche\ Reflexion\ für\ vordere\ und\ hintere\ Grenzfläche\ möglich*) 

    \(transth = \(\((1 - rg - Δrg1)\) \((1 - rg - Δrg2)\)*Exp[\(-β\)*d]\)\/\(1 - \((rg - Δrg1)\)*\((rg - Δrg2)\)*Exp[\(-2\)*β*d]\);\)

    \(reflth = 
        rg - Δrg1 + \(\((\((1 - \((rg + Δrg1)\))\)^2)\)*\ \((rg - Δrg2)\)*Exp[\(-2\)*β*d]\)\/\(1 - \((rg - Δrg1)\)*\((rg - Δrg2)\)*Exp[\(-2\)*β*d]\);\)

 (*Nullstellensuche\ zur\ Bestimmung\ der\ optischen\ Konstanten*) 

    \(sol = 
        Table[{ν, 
            FindRoot[{transth - transint[ν] == 0, 
                reflth - reflint[ν] == 0}, {n, 2, 2. , 
                4. }, {κ, 0. , 0. , 100}, Compiled -> True, 
              DampingFactor -> 1, MaxIterations -> 25]}, {ν, 
            350, 12000, 8}];\)


     (*Bildung\ der\ Brechzahl\ aus\ der\ Lösung\ der\ Nullstellensuche\ und\ graphische\ Darstellung*) \(brechzahl = 
        Table[{sol[\([j, 1]\)], n /. \(sol[\([j, 2]\)]\)[\([1]\)]}, {j, 1, 
            Length[\(Transpose[sol]\)[\([1]\)]]}];\)

    MultipleListPlot[{brechzahl}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Brechzahl"}, PlotRange -> {2, 5}, 
      PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]

 (*Bildung\ des\ Extinktionskoeffizienten\ aus\ der\ Lösung\ der\ Nullstellensuche\ und\ graphische\ Darstellung*) 

    \(extinktionskoeffizient = 
        Table[{sol[\([j, 
                1]\)], κ /. \(sol[\([j, 2]\)]\)[\([2]\)]}, {j, 1, 
            Length[\(Transpose[sol]\)[\([1]\)]]}];\)

    MultipleListPlot[{extinktionskoeffizient}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Extinktionskoeffizient"}, PlotRange -> {0, 0.001}, 
      PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]


     (*Berechnung\ des\ Absorptionskoeffizienten\ und\ graphische\ Darstellung*) \(absorptionskoeffizient = 
        Table[{sol[\([j, 1]\)], 
            4*π*sol[\([j, 1]\)]*κ /. \(sol[\([j, 
                    2]\)]\)[\([2]\)]}, {j, 1, 
            Length[\(Transpose[sol]\)[\([1]\)]]}];\)

    MultipleListPlot[{absorptionskoeffizient}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Absorptionskoeffizient (cm-1)"}, PlotRange -> {0, 100}, 
      PlotLegend -> {"530 µm"}, 
      LegendLabel -> "Si"]


    \)\)\)

6. Umrechnung von n und κ in (ϵ^′) und (ϵ^″)
Bei der Umrechnung werden folgende Relationen angewandt: (ϵ^′) = (n^2) - (κ^2), (ϵ^″) = 2nκ. Die Berechnung wird durchgeführt, indem aus den Listen für die Brechzahl und dem Extinktionskoeffizienten wieder Interpolationsfunktionen gebildet werden, die dann für die weitere Auswertung verwendet werden.

\(\(\( (*Bildung\ der\ Interpolationsfunktionen\ für\ die\ Brechzahl\ und\ den\ Extinktionskoeffizeinten*) \)\(\(brechzahlint = 
        Interpolation[brechzahl, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(extinktionskoeffizientint = 
        Interpolation[extinktionskoeffizient, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)


     (*Real - \ 
        und\ Imaginärteil\ von\ ϵ*) \(ϵr = 
        brechzahlint[ν]^2 - 
          extinktionskoeffizientint[ν]^2;\)

    \(ϵi = 
        2*brechzahlint[ν]*
          extinktionskoeffizientint[ν];\)

 (*Darstellung\ des\ Realteils\ von\ ϵ*) 

    Plot[{ϵr}, {ν, 350, 12000}, PlotRange -> {5, 15}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Realteil von ϵ"}, 
      PlotLabel -> "Si 530 µm"]



     (*Darstellung\ des\ Imaginärteils\ von\ ϵ*) 
      Plot[{ϵi}, {ν, 350, 12000}, 
      PlotRange -> {0. , 0.006}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Imaginärteil von ϵ"}, 
      PlotLabel -> "Si 530 µm"]

    \)\)\)

7. Bestimmung der Bandlücke Eg für einen indirekten Halbleiter
Für indirekte Interbandübergänge an der fundamentalen thermischen Bandlücke gilt: β(ω) = (Subscript[β, em])+(Subscript[β, abs]), wobei (Subscript[β, em]) und (Subscript[β, abs]) die Beiträge zum Absorptionskoeffizienten aufgrund von Phononenemissions- und Phononenabsorptionsprozessen sind. Unter Berücksichtigung der Phononenbestzungswahrscheinlichkeit <(Subscript[n, ph])> erhält man (Subscript[β, em ])= \(A \((\(<\)\(n\_ph\)\(>\)\(+1\))\) \((ℏω - ℏω\_ph - E\_g)\)\^2\/\((ℏω)\)\^2\)und (Subscript[β, abs ])= \(A < 
        n\_ph > \((ℏω + ℏω\_ph - E\_g)\)\^2\/\((ℏω)\)\^2\). Wird  (Sqrt[β (ω) (ω^2)])  gegen ω aufgetragen, erhält man zwei Geraden, aus denen durch Extrapolation die Energien ℏω±ℏ(Subscript[ω, ph]) und damit die Energielücke und die charakteristische Phononenerngie bestimmt werden können.

\(\(\( (*Eingabeparameter*) \)\(
\)\(Print["Temperatur in Kelvin"]

    \(T = 300;\)

    Print["Energielücke in cm-1"]

    νg = 8900

    Print["Phononenenergie in cm-1"]

    νph = 450

    Print["dimensionsloser Skalierungsfaktor"]

    A = 7500

 (*Phononenbesetzungszahl*) 

    \(nph = 
        1\/\(Exp[1.4397  νph\/T] - 1\);\)

 (*theoretischer\ Absorptionskoeffizient*) 

    \(βemm = 
        A\/ν^2*
          If[ν ≥ νg + νph, \((\((ν - νg - νph)\)^2)\)*\((nph + 1)\), 0];\)

    \(βabs = 
        A\/ν^2*
          If[ν ≥ νg - νph, \((\((ν - νg + νph)\)^2)\)*nph, 0];\)

    \(β = βemm + βabs;\)

 (*experimenteller\ Absorptionskoeffizient*) 

    βexp = 
      Interpolation[absorptionskoeffizient, 
        InterpolationOrder -> 1]


    Plot[{\(\@βexp[ν]\) ν, \@β*ν, \@βemm*ν, \@βabs*ν}, {ν, 8000, 10500}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""(Sqrt[β*(ν^2)]) ((cm^(-3/2)))""}, 
      PlotRange -> {0, 10^5}, 
      PlotLegend -> {"experiment", \*""(Sqrt[β*(ν^2)])"", \*""(Sqrt[(Subscript[β, emm])*(ν^2)])"", \*""(Sqrt[(Subscript[β, abs])*(ν^2)])""}, LegendPosition -> {1, \(-0.5\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, 
      LegendLabel -> "Si, νph = 450 cm^-1"]

    \)\)\)