Schwarze Löcher und Quanteninformation

Seit der Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie durch Albert Einstein ist bekannt, dass Gravitation durch die Krümmung der Raumzeit beschrieben wird. Dabei wird diese Krümmung durch alle möglichen Objekte, wie z.B. Materie oder Strahlung, verursacht, wobei die Krümmung größer ist, je mehr Masse und Energie diese Objekte besitzen. Bei einem Stern ist die von ihm verursachte Gravitation an der Oberfläche am größten, wie in Abb. 1 dargestellt ist. Besitzt nun ein zweiter Stern die gleiche Masse und ist aber kleiner, ist die Gravitation an dessen Oberfläche größer. Wird dieser Stern nun immer kleiner, gibt es einen bestimmten Radius, den Schwarzschild Radius, ab dem die Gravitation an dessen Oberfläche so groß ist, dass selbst Licht nicht mehr entkommen kann. Dies ist in Abb. 2 illustriert, wobei der Schlund die starke, aber noch endliche, Krümmung des Raums am Schwarzschildradius symbolisiert. Das Objekt ist nun kein Stern mehr, sondern ein schwarzes Loch. Alle Information über Gegenstände, die in das schwarze Loch fallen, ist verloren, da das ausgestrahlte Licht Beobachter, die sich außerhalb befinden, nicht mehr erreichen kann. Die Grenzfläche zu dem Bereich, aus dem kein Licht mehr empfangen werden kann, heißt Ereignishorizont und erscheint völlig schwarz. Dieser ist aber keine Oberfläche im eigentlichen Sinne, da er nur sagt, wie 'tief' wir in das schwarze Loch hineinschauen können. Innerhalb des Ereignishorizontes fällt ein Objekt immer weiter zum Zentrum des schwarzen Lochs, zu der Singularität, an der die Raumkrümmung unendlich groß wird.

Astronomen können schwarze Löcher indirekt und seit wenigen Jahren auch direkt beobachten: Die enorme Gravitation schwarzer Löcher beeinflusst die Bahnen umliegender Sterne, wodurch man auf ihre Größe und Masse schließen kann. Aufnahmen der Bahnen von Sternen im Zentrum unserer Milchstraße weisen so darauf hin, dass sich dort ein supermassives schwarzes Loch befindet (siehe Abb. 3). Für diese Erkenntnis haben die AstronomInnen A. Ghez und R. Genzel die Hälfte des Physiknobelpreises 2020 erhalten. Die andere Hälfte wurde an R. Penrose verliehen, für seine Arbeit an den Singularitätstheoremen, welche zeigen, dass schwarze Löcher auch ohne besondere Symmetrien der Raumzeit entstehen können. Eine Messung der Masse schwarzer Löcher ist über Gravitationswellen möglich, welche im Jahr 2015 zum ersten Mal von der LIGO-Kollaboration detektiert wurden. Deren Existenz wurde schon vor über 100 Jahren von Albert Einstein vorausgesagt, bisher fehlte aber die nötige Technik, um sie zu messen. Die von LIGO detektierten Wellen wurden von zwei schwarzen Löchern erzeugt, welche sich erst schnell umeinanderdrehten und dann verschmolzen (siehe Abb. 4). Nach der Aufzeichnung mehrere solcher Ereignisse erhielten die Physiker B. Barish, K. Thorne und R. Weiss den Physiknobelpreis 2017.

Wir kommen nun zur Frage der thermischen Entropie schwarzer Löcher. Die Entropie ist eine Größe aus der statistischen Mechanik und beschreibt die Ordnung eines Systems. Quantitativ ist der Unterschied zwischen Ordnung und Unordnung dadurch charakterisiert, wie viele Mikrozustände jeweils denselben Makrozustand realisieren, wobei die Entropie mit der Anzahl der zulässigen Mikrozuständen ansteigt. So wird zum Beispiel ein perfekter Eiskristall am absoluten Nullpunkt nur von der Konfiguration beschreiben, in der alle Wassermoleküle an ihrer jeweiligen Position im Gitter sitzen, wodurch er eine niedrige Entropie besitzt. Im Wasserdampf dagegen ist es egal, welches Molekül sich an welcher Stelle befindet. Viele unterschiedliche Mikrozustände führen so zu demselben Makrozustand, welcher durch seine Temperatur und seinen Druck beschrieben wird, und eine hohe Entropie besitzt.

Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, kann die Entropie von Systemen, die sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden, nur gleich bleiben oder zunehmen. Dies sind Systeme, die zu jedem Zeitpunkt durch Größen wie ihre Temperatur und ihren Druck beschrieben werden können. Da dies für alle Systeme, einschließlich schwarzer Löcher, gelten sollte, sind in den 1970er Jahren zwei wichtige Fragen aufgekommen: Besitzen schwarze Löcher Entropie, und wenn ja, wie verändert diese sich mit der Zeit, und welchen mikroskopischen Ursprung hat sie? Die erste Frage wurde 1973 beantwortet. Dabei wurde gefunden, dass die Entropie von schwarzen Löchern proportional zu der Fläche ihres Ereignishorizonts ist. Die zugehörige Gleichung ist als Bekenstein-Hawking Formel bekannt. Davon ausgehend wurde auch berechnet, dass schwarze Löcher eine Temperatur besitzen.

Eine wichtige Konsequenz aus diesen Beobachtungen ist, dass schwarze Löcher, wie alle anderen Objekte auch, Energie als Wärmestrahlung abgeben, und somit über die Zeit schrumpfen. Schwarze Löcher sind somit nicht wirklich schwarz. Dies wurde dann schließlich im Jahre 1974 von Steven Hawking bewiesen, welcher den Mechanismus für dieses Phänomen erklärte, das heute als Hawking-Strahlung bekannt ist. Diese Strahlung lässt sich durch Vakuumfluktuationen am Ereignishorizont des schwarzen Lochs erklären, durch die Teilchen-Antiteilchen-Paare entstehen, von denen eins ins schwarze Loch fällt und das andere entkommen kann (siehe Abb. 5). Die Konsequenzen dieser Vorhersage sind gewaltig: Schrumpft das schwarze Loch, so sinkt dessen Oberfläche und somit auch die Entropie. Diese ist aber nicht entgegen dem zweiten Hauptsatz verloren, sondern wird in der Strahlung kodiert nach außen getragen. Doch wie wir sehen werden, kommt damit ein tiefgreifender Widerspruch auf: Wenn ein schwarzes Loch erzeugt wird, so wird die Strahlung, die nach dessen Verdampfen übrigbleibt, eine noch höhere Entropie besitzen als die Materie, aus der es bestanden hat. Doch wo kommt diese zusätzliche Entropie her? Während Entropieproduktion für klassische Systeme im Gleichgewicht erlaubt ist, steht sie im Widerspruch zur Quantenmechanik. Dieses Problem ist als das Informationsparadoxon schwarzer Löcher bekannt und ist eins der größten ungelösten Probleme der modernen Physik. Um es vollständig zu lösen, muss letztendlich die Frage zu dem Ursprung der Mikrozustände schwarzer Löcher beantwortet werden. Dies zu tun, ist Gegenstand gegenwärtiger Forschung.

Das Paradoxon gibt schwarzen Löchern eine neue Bedeutung als ein Tor zu einer vereinheitlichten Theorie der Quantengravitation: Denn nur eine Theorie, die es schafft, das Informationsparadoxon aufzulösen, kann als korrekt angenommen werden. Eine besonders vielversprechende Kandidatin, in deren Rahmen in den letzten Jahren viel Fortschritt bei der Lösung des Problems gemacht wurde, ist die Stringtheorie, und aus ihr abgeleitet die AdS/CFT-Korrespondenz. Doch um die Problematik des Informationsparadoxons und dessen Lösung besser zu verstehen, wollen wir uns näher anschauen, was Entropie für Quanten-Phänomene wie die Hawking-Strahlung bedeutet. Dies führt uns zu den Begriffen der Quanteninformation und der Verschränkungsentropie.

Von den Phänomenen der Quantenmechanik, ist das der Quantenverchränkung wohl einer der faszinierendsten. Die zugrundeliegende Idee ist, dass man bei verschränkten Systemen, wie z.B. zwei Teilchen, durch Messung eines Systems Informationen über das jeweils andere System erhalten kann, ohne dass Informationsübertragung zwischen den Systemen stattfindet. Dies funktioniert auch, wenn beide Systeme sich Lichtjahre voneinander entfernt befinden. In der heutigen Zeit ist Verschränkung hauptsächlich durch ihre Rolle bei der Manipulation von Quantencomputern bekannt.  Dort werden die grundsätzlichen Recheneinheiten, die Qubits (Quanten-Bits), durch Verschränkung miteinander gekoppelt. Dies ermöglicht ultraschnelle Rechenoperationen, da die Anzahl der möglichen Zustände des Systems, und somit auch die Rechenleistung, exponentiell mit der Anzahl an verschränkten Partnern wächst. Um den 'Wirkungsgrad' eines Quantencomputers zu messen, ist es deshalb wichtig, die Menge an vorhandener Verschränkung zu quantifizieren. Von den vielen Maßen, die es dafür gibt, ist die Verschränkungsentropie eins der wichtigsten. Sie gibt die Verschränkung zwischen den beiden Untersystemen an, welche durch das Zerschneiden des Ursprungssystems entlang einer fiktionalen Grenze entstehen (siehe Abb. 6). Doch dieses Verschränkungsmaß ist nicht nur für technische Anwendungen interessant, sondern taucht dank seiner Nähe zu der thermischen Entropie auch in vielen fundamentalen physikalischen Zusammenhängen, wie z.B. dem Informationsparadoxon, auf. Dessen fundamentale Aussage können wir mit unserem Wissen über Verschränkung nun durch ein Gedankenexperiment präzisieren:

Starten wir mit einer Menge an Quantenteilchen, wie zum Beispiel Elektronen. Wir nehmen an, dass diese sich in einem sogenannten reinen Quantenzustand befinden, also in einem Zustand mit verschwindender Entropie. Diese Teilchen komprimieren wir nun so stark, dass aus ihnen ein schwarzes Loch entsteht. Da es eine Temperatur besitzt, fängt es sofort an Hawking-Strahlung abzustrahlen, welche nach den Gesetzen der Quantenmechanik mit den Partnern im schwarzen Loch verschränkt ist. Nach Hawkings Berechnungen würde die Verschränkungsentropie zwischen dem schwarzen Loch und der Strahlung so lange steigen, bis das komplette schwarze Loch verdampft ist (siehe Abb. 7, blaue Linie). Doch das würde zu einem Widerspruch führen: Dass sich das gesamte System von einem reinen Quantenzustand in einen thermischen Zustand entwickelt, ist durch die Unitarität (Wahrscheinlichkeitserhaltung) in der Quantenmechanik strikt verboten. Für den Fall, dass die Unitarität erhalten ist, sollte sich die Kurve nach der Page-Zeit, wenn die Bekenstein-Hawking-Entropie des schwarzen Lochs genauso groß ist wie die Verschränkungsentropie der Strahlung, wieder senken (siehe Abb. 8, grüne Linie). Dies würde bedeuten, dass die Strahlung ihre thermische Natur verliert und wieder in einen reinen Quantenzustand zurückkehrt.  Diese theoretisch erwartete Form wurde 1993 von dem Physiker Don Page berechnet und sollte von einer Theorie der Quantengravitation, welche Unitarität als ein fundamentales Prinzip besitzt, reproduziert werden. Mit diesem neuen Wissen über Quantenmechanik und dem Informationsparadoxon können wir uns nun endlich der AdS/CFT-Korrespondenz und der mit ihr einher gehenden Lösung des Problems beschäftigen.

'Das Universum als ein Hologramm.' Dieser Ausdruck wird häufig verwendet, um die AdS/CFT-Korrespondenz in einem Satz zu beschreiben. Dabei handelt es sich um eine der revolutionärsten physikalischen Entdeckungen der letzten 25 Jahre, welche die Art, wie Physiker über Gravitation nachdenken, grundlegend verändert hat. Die Korrespondenz kommt ursprünglich aus der Stringtheorie, einer Theorie der Quantengravitation, aber wird hauptsächlich in Situationen verwendet, in denen die Ausdehnung der String vernachlässigt werden kann. In diesen Szenarien setzt sie die Physik von bestimmten Klassen an Quantenfeldtheorien in d Dimensionen ohne Gravitation mit der Physik von Feldern in einer Gravitationstheorie in (d+1) Dimensionen gleich.  Dabei ist der Rand des durch die Gravitationstheorie modellierten Universums der Raum, auf dem die Quantenfeldtheorie lebt (siehe Abb. 9). Damit postuliert die AdS/CFT-Korrespondenz, genau wie die Bekenstein-Hawking Formel, dass der Informationsgehalt des Volumens auf seiner Oberfläche gespeichert ist. Wegen dieser Eigenschaft ist die Korrespondenz auch unter dem Namen holografische Dualität bekannt. Der Begriff der Dualität bedeutet, dass beide Theorien dieselbe Physik beschreiben, auch wenn diese auf beiden Seiten auf komplett unterschiedliche Art und Weise realisiert ist. Es gibt also eine eindeutige Abbildung zwischen beiden Theorien. Entdeckt wurde die AdS/CFT-Korrespondenz von dem argentinischen Physiker Juan Maldacena bei der Untersuchung eines bestimmten Systems aus der Stringtheorie. Obwohl dem Ergebnis erst mit großer Skepsis begegnet wurde, gibt ihm derErfolg recht: Bis heute werden Systeme gefunden, in denen die AdS/CFT-Korrespondenz mathematisch überprüfbare Vorhersagen liefert und ihr theoretisches Fundament wird immer weiter ausgearbeitet.

Ein Teilgebiet der AdS/CFT-Korrespondenz, welches in den letzten Jahren besonders in den Fokus der Forschung gerückt ist, ist das Verständnis des Zusammenhangs zwischen den Quantenzuständen der Feldtheorie und der Geometrie der Gravitationstheorie. Eine der wichtigsten Entdeckung in diesem Bereich ist die 2006 gefundene Ryu-Takayanagi-Vorschrift, welche es erlaubt, die Verschränkungsentropie des Zustands der Rand-Quantenfeldtheorie aus der Geometrie der Gravitationstheorie zu bestimmen. Sie bildet zudem auch die Grundlage der Lösungsvorschläge für das Informationsparadoxon, welche auf der AdS/CFT-Korrespondenz beruhen. Die Vorschrift besagt, dass die Verschränkungsentropie einer Fläche in der Rand-Quantenfeldtheorie, mit dem Rest des Rands, gleich der Größe der minimalen Fläche in der Gravitationstheorie ist, welche denselben Rand wie die Randfläche besitzt. Diese Konstruktion hört sich kompliziert an, lässt sich aber geometrisch leicht veranschaulichen. In Abb. 9 ist dies schematisch bei konstanter Zeit in zwei Raumdimensionen dargestellt, wobei die Fläche hier nur eine Linie ist und ihr Rand aus den beiden Endpunkten besteht. Der blaue Strich auf dem Rand markiert das ein-dimensionale Rand-Intervall, und die grüne Linie repräsentiert die minimale Verbindungslinie in der drei-dimensionalen Gravitationstheorie. Dabei handelt es sich nicht einfach um eine Gerade, sondern eine gekrümmte Kurve, da der zugrundeliegende Raum gekrümmt ist. Eine Erweiterung der Ryu-Takayanagi-Vorschrift ist die 2015 gefundene Engelhardt-Wall-Formel, welche ähnlich funktioniert wie die vorherige, da auch hier Flächen minimiert werden müssen. Im Jahre 2019 benutzten dann Engelhardt und ihre Kollegen diese Vorschrift, um Page-Kurve für ein bestimmtes schwarzes Loch zu rekonstruieren. Sie fanden, dass es zu der von Hawking gefundenen Strahlung schwarzer Löcher Quanten-Korrekturen gibt, welche das Spektrum der Strahlung verändern. Wie sich herausstellt, sind es genau diese Korrekturen, welche Korrelationen mit sich tragen, die für die endgültige Entwicklung eines nichtthermischen Zustands verantwortlich sind. Noch im selben Jahr bestätigten die Arbeitsgruppe von Geoff Penington, Stephen Shenker und Kollegen das Ergebnis in einer Rechnung in der dualen Quantenfeldtheorie. Dabei kommen die Korrekturen bei ihren Berechnungen von Wurmlöchern, welche die Verschränkungspaare miteinander verbinden und somit den Zustand nichtthermisch halten.  Somit ist der größte Streitpunkt des Informationsparadoxons geklärt: Die Unitarität bleibt erhalten, wenn man die Beiträge der Wurmlöcher mitberücksichtigt. Doch zur gleichen Zeit ist die Frage über den Ursprung der Mikrozustände schwarzer Löcher noch nicht beantwortet. Diese ist Gegenstand weltweiter, aktiver Forschung. In diesem Zeichen steht auch die Arbeit des Lehrstuhls für theoretische Physik III der Universität Würzburg. Wir forschen an Erweiterungen der Ryu-Takayanagi-Formel durch Symmetrieauflösung der Verschränkungsentropie, der Verbindung zwischen Wurmlöchern und Verschränkung, an der holografischen Interpretation anderer Quanteninformationsmaße, wie auch an der Stringtheorie als Theorie der Quantengravitation im Allgemeinen.