Applets zur Physik
Computer-Simulationen zur Statistischen Mechanik
Neuronales Netz
Ein einfaches Netzwerk lernt, deine eingegebene Zeitreihe 1 oder 0 vorherzusagen. Einzelheiten hierim Kapitel 3.4, oder verständlicher in der Zulassungsarbeit von Theresa Brandl (2020), aus der das folgende Applet stammt. Einen Überblick über die Statistische Mechanik Neuronaler Netzwerke gibt es hier.
Ferromagnet
In einem Magneten werden die Spins der Atome durch thermische Kräfte ständig in alle Richtungen gelenkt. Warum kann sich der Gesamtspin dennoch in eine Richtung ausrichten? Welcher Mechanismus liegt dieser spontanten Symmetriebrechung zugrunde?
Der Wettbewerb zwischen Energie und Entropie führt zu einem Phasenübergang. Unterhalb einer kritischen Temperatur gewinnt die Energie: Die Spins ordnen sich im thermischen Mittel. Das einfachste Modell, das diesen Physenübergang zeigt, ist das Ising-Modell des Ferromagneten. Die Monte-Carlo-Simulation für Spins auf einem 50x50 Quadratgitter mit Nächste-Nachbar-Kopplung erzeugt die thermischen Kräfte mithilfe von Zufallszahlen, die mit dem entsprechenden Boltzmann-Faktor verglichen werden. Dadurch relaxiert das System ins thermische Gleichgewicht. Mit dem Schieberegler kann die Temperatur in Einheiten der Kopplungsenergie eingestellt werden. Einzelheiten hier im Kapitel 5.5.
Bosonen
Im Gegensatz zu Fermionen können beliebig viele Bosonen ein Energieniveau (Orbital) besetzen. Im Zustand mit der niedrigsten Energie, also bei der Temperatur T=0, sitzen alle Teilchen im tiefsten Orbital (ohne Wechselwirkung). Die thermischen Kräfte dagegen verteilen die Bosonen auf die verschiedenen Energieniveaus, entspechend dem Boltzmann-Faktor und der Entartung der Niveaus, so dass nur ein geringer Bruchteil der Teilchen jedes Niveau besetzt.
Einstein hat 1925 eine überraschende Entdeckung gemacht: Auch ohne Wechselwirkung gibt es einen Phasenübergang. Unterhalb einer kritischen Temperatur besetzt ein endlicher Bruchteil der Teilchen den Grundzustand. Diese Bose-Einstein-Kondensation konnte erst 70 Jahre später experimentell bestätigt werden (Nobelpreis 2001 an Cornell, Wiemann und Ketterle). Die Computersimulation zeigt 100 Bose-Teilchen in einem dreidimensionalen harmonischen Oszillator. Mithilfe von Zufallszahlen wird das thermische Gleichgewicht erzeugt, und mit dem Schieberegler kann die Temperatur in Einheiten von ℏ ω eingestellt werden.
Self Organized Criticality (SOC)
Auf der Erde finden ständig Erdbeben statt. Es gibt viele Erdbeben geringer Stärke aber auch einige, die großen Schaden anrichten. Wenn man die Verteilung der Anzahl der Erdbeben als Funktion ihrer Stärke misst, so findet man ein Potenzgesetz. Das bedeutet, es gibt keine charakteristische Größe sondern die Verteilung ist selbstähnlich und sieht auf allen Skalen gleich aus. Potenzverteilungen gibt es nicht nur bei Erdbeben, sondern in vielen Bereichen der Naturwissenschaften und sogar der Wirtschaftswissenschaften werden solche Verteilungen gemessen. Woher kommt diese Struktur?
In der Physik gibt es ebenfalls Potenzgesetze, allerdings nur am kritischen Punkt eines Phasenübergangs. Um das zu messen, müssen die Temperatur und den Druck sorgfältig eingestellt werden. Aber im Jahr 1987 haben die Physiker Bak, Tang und Wiesenfeld ein mathematisches Modell gefunden, das ohne anpassbarte Parameter zu einem stationären Zustand mit kritischen Eigenschaften relaxiert. Das Modell erzeugt Lawinen, deren Größe mit einem Potenzgesetz verteilt sind. Zu dem Paper gibt es inzwischen mehrere Tausend Publikationen, und den Begriff SOC findet man in vielen Bereichen der Wissenschaft, von der Quantenfeldtheorie bis zur Soziologie.
Das BTW-Modell enthält einen einfachen Mechanismus: Auf ein Quadratgitter wird zufällig ein Paket abgelegt. Wenn ein Platz mehr als 4 Pakete enthält, so werden diese auf die vier Nachbarn verteilt. Am Rand fällt dabei ein Paket aus dem System. So entstehen Lawinen, und erst wenn er Prozess zum Stillstand kommt, wird ein neues Paket abgelegt. Das Modell enthält also keine Erhaltungsgröße, sondern die Energie fließt durch das System. Die Verteilung der Lawinengrößen ist selbstähnlich und folgt einem Potenzgesetz.
Wenn die Pakete nur in der Mitte abgelegt werden, entstehen interessante Muster.
Versuche, immer drei Pakete gleichzeitig abzulegen, so dass bei der anschließenden Relaxation große Lawinen entstehen. Die Lawinengröße wird zehnmal addiert.
Kepler-Bewegung
Das klassiche Zweikörperproblem kann auf ein Teilchen im Zentralpotenzial reduziert werden, siehe Abschnit 2.7.2
Im Gravitationspotenzial bewegt sich das Teilchen auf Ellipsen, die sich schließen (Kepler-Gesetze). Aber schon kleine Störungen des 1/r-Potenials liefern rosettenartige Bahnen (Periheldrehung). In der Simulation kann die Potenz n=1 des 1/r-Potenzials und der Startpunkt selbst eingestellt werden.
Wolfgang Kinzel 16.4.2019
